巧用路程差

  任建波

 

    [题目]如下图所示,正方形跑道ABCD,甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步,他们的速度分别为每秒5米、4米、3米。若干时间后,甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上,且他们在自己的前方。从此时刻算起,又经过21秒,甲、乙、丙三人处在跑道的同一位置,请计算出正方形的周长的所有可能值。

    [分析与解]首先,由题意可得如下三点:(1)至他们处在跑道的同一位置时,这是甲第一次追上乙;(2)把甲、乙的行程看作是追击问题,则他们开始的路程差可看作是1个正方形跑道的周长;(3)因为同时从A点出发,则三人处在跑道的同一位置时就在A点。其次,由“甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上”,说明此时的甲应该是在这条边的一个顶点处,则这里ABCD四个顶点都有可能。第三,由“从此时刻算起,又经过21秒,甲、乙、丙三人处在跑道的同一位置”可知,当甲在某一顶点的时候,此顶点距离A点的路程是:5*21米,甲、乙的路程差是:(5-4)*21=21(米),乙、丙的路程差是:(4-3)*21(米)。最后,如果当时甲在A点,则正方形的周长就是105米,那么正方形的边长就是:105/4(米),此刻乙在甲前21米处,丙在甲前21+2142米处,因为42>26.25说明丙与甲不在一条边上,与题中已知条件矛盾。所以,甲不在A点;如果当时甲在B点,那么正方形的边长就是105/(4-1)(米),此刻乙在甲前21米处,丙在甲前(21+21)42米处,因为42>35说明丙与甲不在一条边上,与题中已知条件矛盾。所以,甲不在B点;如果当时甲在C点,那么正方形的边长就是:105/(4-2)=52.5(米),此刻乙在甲前21米处,丙在甲前21+2142米处,因为42<52.5说明丙与甲在一条边上,与题中已知条件相符。所以,甲可能D点。则这时正方形跑道的周长为52.5*4=210(米);如果当时甲在D点,那么正方形的边长就是:105/(4-3)(米),此刻乙在甲前21米处,丙在甲前42米处,因为42<105说明丙与甲在一条边上,与题中已知条件相符。所以,甲可能D点。则这时正方形跑道的周长为:105*4=420(米)

    由此可知,题中正方形跑道ABCD的周长可能是210米,也可能是420米。